全民数独进阶：鱼结构解析

鱼（链列）是一种数独解题技巧中的结构，与数组有些相似，但又存在明显区别。其基本逻辑是：当某个数字a恰好需要填入n行和n列中的n个位置时，若这些行与列构成的结构能够完全容纳这n个数字，则该结构称为鱼结构。一旦结构成立，结构以外的行或列中将不能再出现该数字a，否则会导致结构内部无法完成填数，使题目无解。其中，构成结构的行或列称为定义域，所有涉及的单元格合称为鱼身。结构成立后，在定义域之外的对应列或行中可以排除该数字a的可能性，这些区域称为删除域。本文主要介绍标准鱼结构的基本构造，不涉及更复杂的宫内删数情况。

鱼和数组一样具有规格，也存在互补的另一条鱼。当涉及两行两列时称为X翼（也叫二阶鱼或二链列），涉及三行三列的称为剑鱼，涉及四行四列的称为水母。更高阶的鱼由于较为罕见，因此不再进一步介绍。

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图1展示了一个X-Wing结构的实例。可以看到，在第6行中，数字1只能填入r6c6和r6c9两个位置；而在第8行中，数字1也只能填入r8c6和r8c9两处。这四个位置恰好位于第6列和第9列，形成一个矩形结构。由于每一行中数字1必须在这两个列中出现，因此在这两列的其他行中，对应的单元格不能再填入1，否则会导致某一行中无法填入数字1。从共轭对或区块的角度来看，无论是第6行还是第8行，数字1的位置都会在另一行中形成对应位置为真的情况，因此在第6列和第9列中，除了这四个位置以外，其他单元格不能再填入1。在这个结构中，第6行和第8行是定义域，r6c6、r6c9、r8c6、r8c9四个格子构成鱼身，而第6列和第9列则是删除域，删除格为删除域中不属于鱼身的其他单元格。

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图2展示了剑鱼结构的一个实例，定义域为r689，鱼身由r69c86、r89c8及r689c9这几个单元格组成，删除域为c689。可以发现，在r689中，数字1可填入的位置恰好仅分布在三行三列之中。

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图3展示了水母结构的一个实例，其定义域为c3679列，鱼身位于r3c379、r4c67、r6c39、r9c36这几个单元格，删除域为r3469行。可以发现，在c3679列中，数字1可填入的位置恰好仅分布在四行四列之中。

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图4是对图3中水母结构的补充，当我们将原来的行删域转换为列删域后，在r158中可以发现一个剑鱼结构（用绿色标记）。这个剑鱼与原水母互为补充。通过去除删数格中与数字1相关提示格重叠的单元格后，可以清楚地看到两种结构在相同位置进行了删除操作。

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由于篇幅限制，关于鱼的其他变形形式，如鳍鱼、残缺鱼、孪生鱼等内容，建议自行查阅相关教材深入学习。至此，进阶篇的内容已结束。对于更高难度的题目中涉及的技巧，我只会在高难度篇中介绍xr、ar、ul以及环等结构，其他复杂技巧在此无法详尽说明，还需大家自行投入时间和精力进行学习。