二次函数性质解析

二次函数是初中数学的重点与难点，常作为选择题、填空题及解答题的压轴题出现，多与图形变换结合，分值较高。下面介绍二次函数的基本性质。

1、 通常将形如 y = ax? + bx + c 的函数称为二次函数，其中 a、b、c 为常数，且 a 不等于零，b 和 c 可以为零。式中，a 称为二次项系数，决定抛物线的开口方向：当 a 大于零时，图像开口向上；当 a 小于零时，开口向下。同时，|a| 的大小影响开口的宽窄，|a| 越大，开口越小；|a| 越小，开口越大。b 是一次项系数，c 为常数项。x 表示自变量，y 是因变量，也称函数值。每一个 x 的取值对应唯一的 y 值。二次函数的图像是抛物线，其顶点坐标为 (-b/(2a), (4ac - b?)/(4a))，该点是函数图像的最高点或最低点，取决于开口方向。这一表达式在数学分析和实际应用中具有重要意义。

2、 二次函数表达式右侧一般为二次项。

3、 x为自变量，y是x的二次函数关系

4、 一元二次方程的解法公式

5、 当判别式大于零时，方程有两个不等实根。

6、 当判别式为零时，方程有两个相同实根。

7、 当判别式小于零时，方程无实数解。

8、 顶点式表达为 y 等于 a 乘以括号内 x 减 h 的平方再加 k，其中 a 不等于零，a、h、k 均为常数。

9、 函数平移有口诀：左加右减，上加下减。即向左平移h加，向右平移h减，向上平移k加，向下平移k减。

10、 当二次函数与x轴有两个交点时，可表示为y＝a(x－x?)(x－x?)（a≠0，a、x?、x?为常数），其中x?、x?为交点横坐标。此形式适用于图象与x轴相交的情况，中考中通常需转化为一般式。

11、 二次函数一般形式为 y = ax? + bx + c（a ≠ 0，a、b、c 为常数）。当 a > 0 时开口向上，a < 0 时开口向下；c 的正负决定与 y 轴交点位置，c > 0 在正半轴，c < 0 在负半轴。以 y 轴为分界，左侧 a 与 b 同号，右侧 a 与 b 异号。