傅里叶变换入门指南

这篇文章与你过往所读的任何一篇都不同，写于十二年前我在果壳时期，当时未及完成便出国，一拖便是两年，实不相瞒，我向来有拖延的习惯。

1、 这篇文章与你以往读过的任何一篇都截然不同，它始于12年我在果壳时期，当时未及完成便出国，一搁便是两年，拖延成疾，终于今日得以续写完毕。

2、 文章主旨在于阐述核心观点。

3、 通过分解声音的高低长短，揭示复杂波形背后的简单规律。

4、 傅里叶分析远不止是数学中的一项技术工具，它更像是一种能够彻底改变思维方式的世界观。它让我们学会用全新的视角去理解声音、图像乃至整个世界的运行规律。然而现实中，许多初学者一看到那些复杂的公式就望而生畏，甚至心生抵触，尤其在大学入门阶段，这门课常常成为令人头疼的拦路虎。其实，并非内容本身难以理解，而是传统教材过于刻板枯燥，把本该充满趣味的思想包装得晦涩沉重。如果能把这些知识讲得生动有趣，或许更多人会为之着迷。正因如此，我一直希望写一篇通俗易懂的文章，让即使高中生也能轻松理解傅里叶分析的核心思想。无论你来自哪个领域，从事何种职业，我相信你都能读懂并感受到那种豁然开朗的喜悦——当你学会用频率的眼光重新审视世界，你会发现隐藏在表象背后的秩序与美感。而对于已有基础的读者，也请耐心细读，也许熟悉的理论会在新的叙述中焕发出意想不到的光彩。

5、 ——定场诗至此终了——

6、 现在开始讲重点。

7、 学习从来都不是一件轻松的事，但正因为如此，才更需要找到适合自己的方式，让过程变得愉快而高效。写下这些内容，是希望你能少走弯路，在轻松的氛围中有所收获。可千万别只是收藏起来，想着以后再看。很多时候，一次又一次的以后，最终只会让机会悄悄溜走。不妨静下心来，从现在开始，一页页读下去。相比枯燥的课本，这里的内容更易理解，也更有趣味，坚持读完，你一定会发现不一样的收获。

8、 何为频率领域

9、 自我们降生起，所见的一切皆随时间推移而变化：股价的波动、身高的增长、车辆的移动，无一例外。这种以时间为轴线观察事物演变的方式，称为时域分析。我们习惯性地认为，世间万物始终处于持续变动之中，永不停歇。然而，若有人告诉你，换一种视角观察世界，会发现它其实恒定不变，你或许会觉得荒谬。但事实并非如此。存在一个超越时间的视角，能揭示出世界静止不变的本质，这便是频域。在这里，变化被分解为永恒的频率组合，呈现出截然不同的真实面貌。

10、 先举个公式略显不当但意义极为贴切的例子：

11、 在你看来，音乐代表着什么？

12、 音乐常被视为随时间变化的振动，然而对擅长乐器的人来说，它更是一种直接而生动的表达与感受。

13、 下课了，同学们再见！

14、 是的，写到这里本可结束。上方图示展现音乐在时域中的形态，下方则呈现其在频域中的样貌。可见，频域概念对人们而言并不陌生，只是从未被明确意识到罢了。

15、 如今再回顾最初那句看似荒诞的话：世界永恒，或许别有深意。

16、 时域中，琴弦上下振动如同股价起伏；而频域里，仅存一个恒定不变的音符。

17、 前方高能预警！非相关人员请迅速撤离现场！注意安全，切勿逗留！

18、 前方高能预警！强烈建议做好心理准备，接下来的内容将带来巨大冲击，请谨慎继续阅读。

19、 你所见的纷繁世相，不过是宇宙早已写就的永恒旋律。

20、 鸡汤文学，请远离网络社区。

21、 这并非心灵鸡汤，而是黑板上清晰可证的数学公式：傅里叶指出，所有周期函数均可分解为多个不同振幅与相位的正弦波叠加。正如第一个例子所示，通过在不同时间以不同力度敲击不同琴键，便能组合出任意一首乐曲，展现了复杂信号背后简洁的规律之美。

22、 连接时域与频域的重要方法之一便是广为人知的傅里叶分析。它主要包含傅里叶级数和傅里叶变换两部分。我们先从较为基础的傅里叶级数入手，逐步理解其核心思想与应用方式，进而过渡到更广泛的变换形式，揭示信号在不同域中的表现特征。

23、 将周期函数分解为一系列正弦与余弦函数之和的数学方法。

24、 举例说明并配图更易理解。

25、 若我告诉你，能用前述正弦波叠加出一个含90度直角的矩形波，你恐怕难以相信。正如当初的我一样，但请看下图：

26、 第一幅图是情绪低落的余弦曲线cos(x)。

27、 第二幅图展示的是两个卖萌正弦波叠加，即cos(x)与a·cos(3x)之和。

28、 四列正弦波叠加形成的第三幅图

29、 第四幅图为十个同频正弦波叠加而成

30、 正弦波叠加成矩形波，启示我们：量变积累终致质变，复杂源于简单，规律蕴藏于重复之中。

31、 只要坚持，再难也能扭转局面。

32、 随着叠加数量的增加，各个正弦波上升段使原本平缓的曲线逐渐变陡，而下降段则在波峰处相互抵消，阻止其继续上升，从而形成水平状态。就这样，通过不断叠加，最终呈现出矩形波的形态。然而，要构成一个具有标准90度直角的理想矩形波，需要多少个正弦波？遗憾的是，答案是无穷多个。即便如此，这是否也像是某种暗示：完美的方波，或许本就藏在无限之中？

33、 任何波形，无论多么复杂，都可以通过不同频率的正弦波叠加而成。这看似反直觉，却是傅里叶分析的核心思想。一旦理解并接受这一原理，原本复杂的信号处理便变得清晰而有趣，开启了一扇通往频域世界的大门。

34、 观察上图正弦波叠加成矩形波，换个视角分析其形成过程。

35、 在这些图像中，最前方那条黑色曲线代表所有正弦波叠加后的结果，随着成分的增加，波形逐渐趋近于矩形波。排列在后方、由不同颜色表示的正弦波，则是构成该矩形波的基本组成部分。这些正弦波按频率由低至高从前向后依次排列，各自的振幅也各不相同。细心观察会发现，相邻两个正弦波之间还存在一条直线，这并非分隔线，而是振幅为零的正弦波。这说明，在合成特定波形时，并非所有频率成分都需要参与，部分频率的振幅为零，意味着它们并未对最终波形产生贡献。

36、 不同频率的正弦波被称为频率分量。

37、 重点来了，注意看！

38、 将最低频率分量视为1，便可作为构建频域的最小基础单元。

39、 在有理数轴上，数字1是最基本的单位长度。

40、 当时基这个术语仅用于数学领域，尚无其他引申含义，至于正交基这类专业词汇，自然也就不必多提了。

41、 时间域的基本单位是1秒，若以角频率为1的正弦波cos(t)作为基准，则频率域的基本单位即由此确定。

42、 1与0共同构成世界，那么频域中的0又是什么？cos(0t)代表一个周期无限长的正弦波，实际上就是一条水平直线。在频域中，0频率被称为直流分量。它在傅里叶级数叠加时，仅使整个波形整体上移或下移，不改变波的形状，只影响其在坐标系中的位置。

43、 回到初中课堂，重温那位令人难忘的老师如何为我们讲解正弦波的定义。

44、 正弦波可视为圆周运动在直线上的投影，因此频域的基本单元可想象成一个持续旋转的圆。

45、 网络无法上传动态图，实在令人遗憾。

46、 想看动图的点这里。

47、 此处亦然

48、 别被维基百科带偏了，这儿的文章虽然没节操，但更有趣不是吗？

49、 了解频域基本构成后，让我们来看看矩形波在频域中的另一种表现形式。

50、 这是什么东西，好奇怪啊

51、 这就是矩形波在频率域中的表现形式，看起来是不是完全陌生？教材通常只展示到此，留下读者无限想象与质疑。其实，只要补充一张图就能豁然开朗：所谓的频谱，正是这一系列频率成分的直观呈现。

52、 更清晰些：

53、 观察频谱可知，偶数项振幅均为零，对应图中彩色竖线，表示这些频率的正弦波振幅为零。

54、 动图点这里

55、 说实话，当初学习傅里叶变换时，维基上的这张图尚未出现，我那时便已想到这种表达方式，后续还将补充维基未涵盖的另一重要谱图——相位谱。

56、 在进入相位谱的讲解之前，让我们先重新思考之前那个例子背后的深层含义。还记得那句世界是静止的吗？这句话或许让人感到困惑甚至质疑。但试想一下，现实中那些看似杂乱无章的现象，其实都可以被看作时间轴上不规则波动的体现。而这些复杂的波动，本质上是由无数个不同频率、幅度的正弦波叠加而成。我们所认为的无序，实际上正是规律性波形在时间维度上的表现。更进一步，每一个正弦波都可以理解为一个匀速旋转的圆在直线上的投影。当这些概念串联起来时，你的脑海里是否浮现出一幅由旋转与波动交织构成的动态图景？

57、 我们所看到的世界，如同皮影戏中那块巨大的幕布。幕布之后，隐藏着层层叠叠的齿轮，大轮带动小轮，小轮再推动更小的轮，环环相扣，永不停歇。而在最末端的那个微小齿轮上，站着一个小小的人影——那正是我们自己。我们只能看见人影在幕前舞动，看似自由却无法掌控方向，也无法预知下一步会走向何处。然而背后的齿轮始终按既定节奏运转，不疾不徐。这听起来似乎带着宿命的意味。其实，这是高中时一位朋友的感慨，当时懵懂不解，直到后来我接触到傅里叶级数，才恍然明白其中深意：看似无序的人生轨迹，或许正是无数规律叠加的结果。

58、 接下来开启我们放飞自我的旅程。

59、 上次关注侧面视角，此次则聚焦于从下方观察的细节与特征。

60、 第二课伊始，我将解答一个常见疑问：傅里叶分析到底有什么用途？这部分内容稍显枯燥，若已了解可直接跳至下一部分。

61、 先说一个最直接的应用。无论收听广播还是观看电视，我们常听到频道一词。所谓频道，其实就是频率的通道，不同频道意味着利用不同频率来传输信息。现在，请大家尝试做一件事：

62、 在纸上大致画出sin(x)的波形，无需精确，形似即可，这并不困难。

63、 接下来绘制函数 sin(3x) 与 sin(5x) 叠加后的波形图像。

64、 别说标准与否，连曲线何时该升何时该降你都未必能画准确吧？

65、 好的，画不出来没关系，我给你展示一条由sin(3x)与sin(5x)叠加而成的曲线，但你不了解其具体表达式。现在请你仅凭图像将sin(5x)部分分离出去，观察剩余部分。这种操作在实际中几乎无法实现。

66、 在频域中却极为简单，仅表现为几条竖直线。

67、 许多在时域中难以实现的数学操作，在频域却变得简单可行。傅里叶变换正是实现这一转换的关键。例如，从信号中去除特定频率成分，即工程上所说的滤波，是信号处理中的核心概念之一，而这类操作唯有在频域才能高效完成。

68、 还有一个更为重要但稍显复杂的应用——求解微分方程。（这部分有一定难度，若理解困难可跳过）微分方程在各个领域都极为关键，其重要性不言而喻。然而，直接求解往往非常繁琐，因其涉及大量微分与积分运算。而借助傅里叶变换，可将原本复杂的微分和积分操作转化为频域中的乘法与除法，极大简化计算过程。这样一来，原本高深的大学数学问题，瞬间变得如同小学算术般直观简便，显著提升了求解效率与可行性。

69、 傅里叶分析另有诸多重要应用，后续讲解中将陆续介绍。

70、 接下来讲解相位谱的内容。

71、 通过对信号进行时域到频域的变换，我们能够获得一个从侧面观察的频谱图像，但这仅反映了各频率成分的振幅大小，并未包含原始信号在时间维度上的全部信息。实际上，构成信号的基本正弦波由振幅、频率和相位三要素共同决定，其中相位影响着波形在时间轴上的起始位置。因此，仅凭振幅谱无法完整还原信号，还需补充相位信息。为了全面描述信号特征，必须引入相位谱。接下来，通过七个不同频率正弦波叠加的示意图，可以更清晰地展示相位在信号合成过程中的作用，从而揭示相位谱的存在与意义。

72、 由于正弦波具有周期性，需引入参考点来标识其位置。图中用小红点表示各周期内距离频率轴最近的波峰。为更清晰地展示该波峰与频率轴之间的相对位置，将这些红点向下平面投影，形成粉色标记点。需要注意的是，这些粉色点仅反映波峰在水平方向上的偏移距离，并不代表正弦波的实际相位信息。

73、 需要澄清一个常见误解：时间差不等于相位差。若将一个完整周期视为2π或360度，相位差实际上是时间差在周期中所占的比例。通过将时间差除以周期再乘以2π，即可得出对应的相位差。

74、 观察发现，相位谱中的相位值仅包含0和π两种情况。由于cos(t+π)等于-cos(t)，因此相位为π的余弦波相当于原波形在垂直方向上的翻转。对于周期性方波的傅里叶级数展开而言，这样的相位分布已相当简洁明了。此外，考虑到余弦函数具有周期性，即cos(t+2π)=cos(t)，相位差本身也具备周期特性，这意味着π、3π、5π等奇数倍的π值代表相同的相位状态。为了统一表示，通常将相位谱的取值范围限定在(-π, π]区间内，因此图中所有非零相位均被表示为π。

75、 最后来张全家福：

76、 讲完傅里叶级数了吗？你是不是这么认为？

77、 下节课我们将讲解欧拉公式及指数形式的傅里叶级数，感谢各位。

78、 今天分享的内容虽然不多，但还是希望各位能理解我的情况——我也有自己的生活节奏，能够用来在网络创作的时间其实相当有限。尽管如此，我依然十分珍惜在这里与大家交流的每一刻。上一篇系列文章，你们知道我花了多少时间吗？整整四天，每天投入六小时，还是利用假期完成的。其中最耗时的环节是制图，不少人问起方法，其实就是用MATLAB生成基础图像，再通过PHOTOSHOP进行优化处理。虽然这个过程繁琐耗时，但我始终相信，清晰的图表远比文字更直观、更容易理解。正因如此，我才愿意付出这些精力。我也希望通过这样的方式，把学习过程中真实的体会和积累的经验，尽可能完整地传递给真正需要的人。

79、 请耐心听我讲完这个故事，感谢你们的理解与支持。

80、 本文源自网络专栏与时间无关的故事

81、 本文源自微信公众号程序员